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设abc∈(0,1)证(1-a|)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于0.25本人最烦数学了请一狂人大哥帮帮忙
更新时间:2024-03-29
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问题描述:

设abc∈(0,1)证(1-a|)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于0.25

本人最烦数学了请一狂人大哥帮帮忙

方德明回答:
  用反证法来证明:   假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4,   由于a,b,c∈(0,1),   所以   √[(1-a)b]>1/2,   √[(1-b)c]>1/2,   √[(1-c)a]>1/2,   即√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]>3/2············①   又因为   √[(1-a)b]≤(1-a+b)/2,·············②   √[(1-b)c]≤(1-b+c)/2,   √[(1-c)a]≤(1-c+a)/2,   所以√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]≤3/2,   这与①式:√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2矛盾.   所以假设不成立,   故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于1/4.   注:本题用到了以下的基本不等式:   由于(√a-√b)^2≥0,展开得:a+b≥2√ab,即:√ab≤(a+b)/2.   ②式利用了该基本不等式.
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